[로켓 이론] 일반 추력 방정식(General Thrust Equation)

안녕하세요. 박랩입니다.

오늘은 로켓 추력 방정식에 대해 설명해드리려고 합니다.

추력은 뭘까요?

추력은 로켓을 공중이나 공간을 통해 움직이는 힘 입니다.

추력은 추진 시스템에 의해 생성됩니다 .

 

추력은 어떻게 생성될까요?

추력은 뉴턴의 운동 제3법칙 에 의해 설명되는 바와 같이, 기체 덩어리를 가속하는 반응 을 통해 생성되는 기계적 힘 입니다.

가스 또는 작동 유체는 후방으로 가속되고 엔진과 로켓은 반대 방향으로 가속됩니다. 가스를 가속하려면 추진 시스템이 필요합니다. 추후에 다양한 추진 시스템에 대해 설명드릴게요.

 

뉴턴의 제2법칙(Newton’s 2nd Raw) 

힘 F 를 시간 변화에 따른 물체의 운동량 변화로 정의할 수 있습니다.

운동량은 물체의 질량 m 곱하기 속도 V 입니다. 따라서 두 시간 t1 과 t2 사이 에 힘은 다음과 같이 주어집니다.

F = ((m * V)2 - (m * V)1) / (t2 - t1)

질량이 일정하게 유지되고, 시간에 따라 속도가 바뀌면 간단한 힘 방정식이 나옵니다.

힘은 다음과 같이 간단히 정리되기도 합니다. 힘은 질량*가속도로 많이 알려져 있습니다.

F = m * a

고체를 다루는 경우 질량을 계산하기 비교적 쉽습니다. 고체의 분자는 서로 밀접하게 결합되어 있기 때문입니다.

그러나 유체(액체 또는 기체)를 다루는 경우는 질량이 계속 변하기 때문에 계산하는게 상당히 까다로워집니다.

움직이는 유체의 경우, 중요한 매개변수는 질량 유량입니다.

질량 유량은 일정 시간 동안 주어진 평면을 통해 이동하는 질량의 양입니다. 

질량유량은 질량/시간으로 표현되고, 밀도 r *속도 V *면적 A 과 같습니다.

이 매개변수를 m dot(엠 닷) 으로 표시하도록 하겠습니다.(m 위에 작은 점을 표시)

m dot = r * V * A

(참고: "점" 표기법은 수학자, 과학자 및 엔지니어가 "d/dt"의 기호로 많이 사용하며, 이는 변수가 시간의 변화에 따라 변경됨을 의미합니다.)

 

예를 들어, 우리는 뉴턴의 제2법칙을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

F = d(mv)/dt  또는  F = (mv)dot

따라서 "m dot"은 단순히 유체의 질량이 아니라 질량 유량 , 단위 시간당 질량입니다. 질량 유속은 이미 시간 의존성(질량/시간)을 포함하고 있습니다. 추진 장치의 운동량의 변화는 질량 유량의 변화에 속도를 곱한 것으로 표현할 수 있습니다.

출구 쪽을 exit을 따서 아래첨자 "e"로 표시하고 입구쪽을 시작이란 뜻의 0에서 아래첨자 "0"으로 표시합니다.

F = (m dot * V)e - (m dot * V)o

 

그런데 말입니다…

 

출구 압력과 입구 압력이 다를 경우, 추가적인 운동량 변화가 일어납니다.

힘은 압력* 면적으로 표현할 수 있고, 압력 항도 계산할 수 있습니다.

F= P * A

그러면 일반 추력 방정식 은 다음과 같이 주어집니다.

F = (m dot * V)e - (m dot * V)o + (pe - p0) * Ae

일반적으로 압력 항은 모멘텀 항에 비해 작습니다.

추력 방정식을 통해, 추력을 크게 키우는 두 가지 방법이 있습니다.

1. 질량유량(m dot)을 키운다
2. 출구 속도(Ve)를 키운다 (압력항은 크기가 작으므로 신경쓰지 않겠습니다.)

가스 터빈 엔진에 사용할 수 있는 일반 추력 방정식의 단순화된 버전이 있습니다. 터빈 엔진 의 노즐 은 일반적으로 출구 압력이 입구 압력과 같도록 설계됩니다. 이 경우 일반 방정식의 압력 항은 0과 같습니다.

F = (m dot * V)e - (m dot * V)o

로켓 엔진에 사용할 수 있는 일반 추력 방정식의 단순화된 식이 있습니다 .

로켓은 자체 산소를 탑재하고 있기 때문에 자유 흐름 질량 유량은 0이고,

일반 방정식의 두 번째 항도 출구 압력과 배기압이 같을 경우 삭제될 수 있습니다.(Pe=Pb 일 경우.)

F = (m dot * V)e + (pe - po) * Ae

그러나 설계된 노즐 출구 압력은 변화시키기 어렵기 때문에 특정 고도가 아니라면 압력 항은 계속 존재하겠죠?

로켓과 터보제트 모두 노즐은 두 가지 중요한 역할을 합니다. 노즐은 주어진 압력과 온도에 대한 출구 속도를 결정합니다. (출구 속도는 추력을 결정) 노즐 목이 질식(초크) 되기 때문에 노즐은 질량 유량도 결정합니다. (질량 유량도 추력을 결정)

 

결론

• 추력은 질량유량, 배기속도(출구속도), 압력비로 결정된다.
• 하지만 추력에 크게 영향을 미치는건 모멘텀 항(질량유량, 배기속도)이다.
• 노즐목의 형상은 배기 속도와 질량유량을 결정한다.

이상 박랩이었습니다.

 

감사합니다.