[로켓 이론] 질량유량(Mass Flow Rate)

안녕하세요 박랩입니다.

오늘은 로켓 이론에서 빠질 수 없는 질량 유량에 대한 글입니다.

질량 보존이란?

질량 보존은 물리학의 기본 개념입니다. 어떤 영역 내에서 질량의 양은 일정하게 유지됩니다. 질량은 생성되거나 소멸되지 않습니다. 어떤 물체의 질량은 물체가 차지하는 부피에 밀도를 곱한 것 입니다. 

유체(액체 또는 기체를 지칭)의 경우 물체의 밀도, 부피 및 모양은 시간에 따라 영역 내에서 모두 변할 수 있고 질량은 영역을 통해 이동할 수 있습니다. 질량 보존이란 말은, 특정 영역을 통과하는 질량 유량 mdot 이 일정하고 밀도 r(그리스 알파벳으로 ρ(로)로 쓰지만, 본 글에서는 r로 표현하겠습니다) , 속도 V 및 유동 면적 A 의 곱과 같습니다.

 

Eq #1:

m dot = r * V * A

 

질량 유량 방정식에서 주어진 면적과 밀도에 대해 속도를 키우면 질량 유량이 무한대가 될까요?

그럼 엄청난 추력을 발생시킬 수 있을텐데 말이죠.

그러나 실제 유체에서는 압축성 효과로 속도가 증가함에 따라 밀도가 일정하게 유지되지 않습니다.

더 높은 속도에서 질량 유량을 구하려면 밀도 변화를 고려해야 합니다. 위에서 주어진 질량 유량 방정식으로 시작하여 등엔트로피 유동 관계와 상태 방정식을 사용하면 질량 유량 방정식의 압축상태도 계산할 수 있습니다.

속도를 마하 수 M으로 정의해보면,

 

Eq #2:

V = M * a = M sqrt(gam R * T)

여기서 gam 은 비열비 , R 은 기체 상수 , T 는 온도 입니다.

이제 Eq #2를 Eq # 1에 대입해보겠습니다.

 

Eq #3:

m dot = r * A * M * sqrt (gam * R * T)

상태 방정식은 다음과 같습니다.

 

Eq #4:

r = p / (R * T)

여기서 p 는 압력입니다. Eq #4를 Eq #3에 대입:

 

Eq #5:

m dot = A * M * sqrt (gam * R * T) * p / (R * T)

다시 정리하면 :

 

Eq #6:

m dot = A * sqrt (gam / R) * M * p / sqrt(T)

 

등엔트로피 유동 방정식에서 :

Eq #7:

p = pt * (T / Tt)^(gam/(gam-1))

여기서 pt 는 전체 압력이고 Tt 는 전체 온도입니다. 

 

Eq #7을 Eq #6에 대입:

Eq #8:

mdot = (A * pt) / sqrt(Tt) * sqrt (gam / R) * M * (T / Tt)^((gam + 1) / (2 * (gam -1)))

 

또 다른 등엔트로피를 가정했을때, 온도 관계는 다음과 같습니다 :

Eq #9:

T/Tt = (1 + .5 * (gam -1) * M^2) ^-1

 

Eq #9를 Eq #8로 대체:

Eq #10:

m dot = (A * pt/sqrt[Tt]) * sqrt(gam/R) * M * [1 + .5 * (gam-1) * M^2 ]^-[(gam + 1)/(gam - 1)/2]

이 방정식은 이 슬라이드의 빨간색 상자에 표시되어 있으며 ,면적 A , 총 압력 pt 및 흐름 온도 Tt , 마하 수 M , 기체 gam 의 비열비 및 기체 상수 R 로 표현됩니다.

 

하지만 질량 유량에 대한 압축성 효과는 예상치 못한 결과를 가져옵니다.

면적을 늘리거나 총 압력을 높이거나 감소시켜 관을 통한 질량 흐름을 증가시킬 수 있습니다.

이 식에 의하면, 질량유량을 증가시키기 위해서는 면적과 압력을 증가시키면 되고, 온도를 감소시키면 됩니다.

그렇지만 속도(마하수)를 증가시키기는 더 복잡합니다.

 

면적, 총 압력 및 온도를 고정하고 질량 유량-마하 수로 그래프로 그리면, 마하 수가 1일 때 질량유량은 최대값이 됨을 알 수 있습니다.

아래부터는 질량유량이 왜 마하1에서 최대가 되는지에 대한 증명 과정입니다.

단순하게 생각해서, 미분값이 0이 되는 지점을 찾으면 됩니다.

식을 단순화 하기 위해 Eq #11~13을 B,C,D로 표현하겠습니다.

 

Eq #11:

B = (A * pt) / sqrt(Tt) * sqrt(gam / R)

Eq #12:

C = (gam + 1)/(2 * (gam - 1))

Eq #13:

D = (gam - 1) / 2

그러면 Eq #10은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

Eq #14:

mdot = B * M / ((1 + D * M^2) ^ C)

M 에 대한 이 방정식의 도함수를 구하고, 미분값이 0이 되는 지점으로 최대값을 찾습니다.

Eq #15:

d mdot/dM = M * ( d [ 1 / ((1 + D * M^2) ^ C)] /dM) + 1 / ((1 + D * M^2) ^ C)

= 0 -(2 * C * D * M^2) / ((1 + D * M^2) ^ (C + 1)) + 1 / ((1 + D * M^2) ^ C)

= 0

Eq #16:

2 * C * D * M^2 = 1 + D * M^2

Eq #17:

M^2 = 1 / (D * ( 2 * C - 1))

Eq #12 및 Eq #13을 사용하여 이 방정식의 우변을 구하면,

Eq #18:

D * ( 2 * C - 1) = .5 * (gam -1) * (((gam + 1) / (gam - 1)) - 1) = 1

따라서 최대 기류 조건은 다음에서 발생합니다.

Eq #19:

M^2 = 1 또는 M = 1

마하 수가 1일 때 발생하는 최대 기류 제한이있습니다. 질량 유량 제한을 **질식(Choke)**이라고 합니다. M = 1 을 Eq #10에 대입 하면 초크된 질량 유량 값을 결정할 수 있습니다.

mdot = (A * pt/sqrt[Tt]) * sqrt(gam/R) * [(gam + 1)/2]^-[(gam + 1)/(gam - 1)/2]

속도가 음속과 같기 때문에 1과 같은 마하 수를 음속 조건이라고 하며 "A"로 노즐목* 면적을 표시합니다. 슬라이드에 표시된 노즐같이 면적이 변하는 튜브가 있는 경우, 최대 질량 유량은 흐름이 가장 작은 면적에서 질식될 때 발생합니다.

이 위치를 노즐 목(Throat) 이라고 합니다. 질량 보존은 노즐을 통한 질량 유량이 일정함을 지정합니다. 열이 추가되지 않고 노즐에 압력 손실이 없으면 전체 압력과 온도도 일정합니다. 노즐의 모든 위치에서 마하 수 M 을 해당 위치의 면적 A 와 노즐 목 면적 A* 의 면적 사이의 비율과 연관시킬 수 있습니다.

마하 수는 속도와 관련이 있으므로 목에서 출구까지의 면적 비율을 알면 노즐의 출구 속도를 결정할 수 있습니다. 출구속도와 질량유량을 알면, 추력을 결정할 수 있습니다.

 

결론

• 튜브 내에서 질량유량은 어느 위치든지 보존된다.
• 질량유량은 마하 수가 1이 되는 지점에서 최대가 된다.
• 노즐목에서 마하수는 1이 되고, 면적비로 노즐 내부 어느 위치든지 유체 속도를 구할 수 있다.