안녕하세요 박랩입니다.
이번 글에서는 로켓 엔진의 추력을 계산하는 데 필요한 모든 방정식을 관계식으로 표현해봤습니다.
로켓 추력이 생성되는 과정
로켓연료와 산화제(합쳐서 추진제라 합니다.)는 연소실에서 점화됩니다. 추진제가 연소되면서 고온 및 고압의 배기 가스를 생성합니다. 뜨거운 배기 가스는 흐름을 가속화하는 노즐을 통과합니다. 추력은 뉴턴의 제3 운동 법칙에 따라 생성됩니다.
로켓에 의해 생성되는 추력은 엔진을 통과하는 질량 유량, 배기 가스 배출 속도, 노즐 출구 압력에 따라 달라집니다.
(슬라이드의 마지막 식을 참고하시면 됩니다.)
이러한 모든 변수는 노즐의 설계에 따라 달라집니다. 노즐의 가장 작은 단면적을 ‘노즐 목’이라고 합니다. 배기가스는 노즐 목에서 질식됩니다. 즉, 마하 수는 노즐 목에서 1.0이고 질량 유량 m dot은 노즐 목 면적에 의해 결정됩니다.
어떻게 노즐 목 면적만 알면 질량유량을 구할 수 있을까?
여기서 At는 목의 면적, Po는 연소실 압력, To는 연소실의 온도, gamma(γ)은 배기가스 비열비, R은 가스 상수입니다.
즉, 연료와 산화제, 압력비가 결정되면, 비열비, 기체상수R, 연소실 온도는 CEA를 통해 자동적으로 구할 수 있습니다.
CEA는 NASA에서 제공하는 화학평형해석 툴인데, 연료와 산화제 및 몇개의 변수로 비열비나 챔버 온도 등을 쉽게 구할 수 있습니다.
따라서 노즐목 면적을 제외한 변수는 이미 구했기 때문에, 노즐목 면적만 입력하면 필요한 질량유량을 구할 수 있습니다.
예를 들면, 산소와 케로신을 추진제로 정하고, 압력비(연소실 압력/주변 압력)를 15로 하고 CEA를 활용하면,
비열비(Gamma) : 1.14
생성물 온도(연소실 온도) : 3400K
연소실 압력 : 15 Bar
주변 압력 : 1 Bar
까지 구할 수 있습니다.
그다음 본인이 희망하는 노즐 크기를 대입하면,
희망 노즐 면적 : 0.1 m2
-> 질량유량(m dot) : 91.6kg/sec
이런식으로 질량유량을 구할 수 있습니다.
면적비로 출구 마하수 구하기
목에서 출구 Ae까지의 면적 비율은 출구 마하 수를 구할 수 있습니다.
보통 면적비는, 본인이 먼저 4~10 중 면적비를 고정시키고 출구 마하수, 압력비를 결정하는 경우도 있고,
압력비를 먼저 고정시킨 다음에 마하수, 면적비를 결정하는 경우도 있습니다.
그래서 고고도에서 작동하는 로켓의 경우 면적비가 40정도로 큰 경우가 많습니다.
왜냐하면, 외부 압력이 0기압에 가까워지기 때문에 압력비가 매우 커져서 면적비까지 커지는 경우입니다.
CEA에서도 사용자가 먼저 압력비를 입력하게 되있는데, 그래서 CEA를 실행하면 이상적인 압력비까지 결정되어 결과로 나옵니다.
어쨌든 면적비와 마하수(출구 속도)의 관계는 다음과 같습니다.
노즐 출구에서의 등엔트로피 관계로부터 출구 압력 Pe 및 출구 온도 Te를 결정할 수 있습니다.
따라서 Te를 알면 음속 방정식과 마하 수 정의를 사용하여 출구 속도 Ve를 계산할 수 있습니다.
이제 로켓의 추진력을 결정하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다.
출구 압력은 일부 설계 조건에서 외부 압력과 동일합니다. 따라서 더 긴 버전의 일반화된 추력 방정식을 사용해야 합니다. 외부 압력이 Pa로 주어지면 로켓 추력 방정식은 다음과 같습니다.
결론
- 질량유량은 추진제가 결정되면 노즐목 면적으로 구할 수 있다.
- CEA로 추진제를 선정하면, 비열비, 연소실 온도를 구할 수 있다.
- 면적비로 춮구 속도를 결정할 수 있다
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